Produtos notáveis

A álgebra utiliza letras e números na representação de situações matemáticas. Alguns elementos, denominados produtos notáveis, são de extrema importância para o desenvolvimento de situações algébricas 

Eles consistem em binômios especiais com formas de resolução através de regras matemáticas. Os produtos notáveis são conteúdos inerentes ao 8º ano do ensino fundamental e pré-requisitos para futuros conteúdos, por isso é indispensável a sua apresentação. 

Apresente aos alunos os produtos notáveis seguidos de seus nomes: 

(a + b)² → quadrado da soma de dois termos 

(a – b)² → quadrado da diferença de dois termos 

(a + b) * (a – b) → produto da soma pela diferença de dois termos 

(a + b)³ → cubo da soma de dois termos 

(a – b)³ → cubo da diferença de dois termos 

Resolução dos produtos notáveis pela regra: 

Quadrado da soma: quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo. 

(a + 5)² → a² + 2 * a * 5 + 5² → a² + 10a + 25 
Quadrado da diferença: quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo. 

(x – 10)² → x² – 2 * x * 10 + 10² → x² – 20x + 100 

Produto da soma pela diferença entre dois termos: quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 

(x – 8) * (x + 8) → x² – 8² → x² – 64 
Cubo da soma: cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo. 

(x + 3)³ → x³ + 3 * x² * 3 + 3 * x * 3² + 3³ → x³ + 9x² + 27x + 27 

Cubo da diferença: cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo. 

(x – 2)² → x³ – 3 * x² * 2 + 3 * x * 2² – 2³ → x³ – 6x² + 12x – 8 

Divisão de polinômios

Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:

Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:

Exemplo 1:

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, com vistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo4x * (3x² + x – 2) + 0
12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta. No exemplo a seguir, iremos dividir polinômio por polinômio. Veja:

Multiplicação de polinômio

Multiplicação de polinômio por monômio

Para entendermos melhor, observe o exemplo:

(3x²) * (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação

15x⁵ + 24x⁴ – 3x³


Multiplicação de polinômio por polinômio

Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:

(x – 1) * (x² + 2x - 6)


x² * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.

x³ + x² – 8x + 6

Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Adição e Subtração de um polinomio

Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

Adição e Subtração

Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.

Adição

(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

–3x³ – 2x² + 7x – 3


Subtração

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes

–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência

3x³ – 2x² + 3x – 1

Polinômio

Na página sobre termos algébricos explicamos o que são monômios semelhantes e em seguida tratamos a sua soma e subtração.

A adição ou subtração algébrica de monômios é denominada polinômio.

Vejamos alguns exemplos de polinômios:

No primeiro exemplo temos um polinômio de apenas um monômio. Os demais possuem vários monômios, estes monômios são denominados termos do polinômio.

O segundo exemplo é um polinômio de dois termos: 3x³y e 2xy².

Grau de um Polinômio

O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é o grau do seu termo de maior grau.

O polinômio -5x⁴ + 14x⁵y² - 7x³y² é do grau 7, pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é do grau 7.

O polinômio 4a²b³ + 5a⁵ é do grau 5, pois ambos os termos do polinômio são deste grau.

Raiz quadrada

RAIZ QUADRADA

Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:

a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶

Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2

Exemplos:

a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b

Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos

Potenciação de monômios

►Potenciação de monômios 
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação: 

(I) (a . b)^m = a^m . b^m 

(II) (am)ⁿ = a^{m . n} 

Veja alguns exemplos: 
(-5x²b⁶)² aplicando a propriedade (I). 

(-5)² . (x²)² . (b⁶)² aplicando a propriedade (II) 

25 . x⁴ . b¹² 

25x⁴b¹² 

Divisão de monômios

►Divisão de monômios 

Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: 
a^m : aⁿ = a^{m - n} (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0. 

(-20x²y³) : (- 4xy³) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : aⁿ = a^{m – n}. 

-20 : (– 4) . x² : x . y³ : y³ 
5 x^{2 – 1} y^{3 – 3} 

5x¹y⁰ 

5x 

Multiplicação de monômios

►Multiplicação de monômios 
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:a^m . aⁿ = a^{m + n} (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes). 

(3a²b) . (- 5ab³) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade a^m . aⁿ = a^{m + n}. 

3 . ( - 5) . a² . a . b . b³ 

-15 a^{2 +1} b^{1 + 3} 

-15 a³b⁴ 

Adição de monomios

Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes. 
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas. Veja: 

► 5x² e 42x são dois termos, as suas partes literais são x² e x, as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são semelhantes. 

► 7ab² e 20ab² são dois termos, suas partes literais são ab² e ab², observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes. 


►Adição e subtração de monômios 

Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada. 
Veja: 

Dado os termos 5xy², 20xy², como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles. 

• 5xy² + 20xy² devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 
        25 xy² 

• 5xy² - 20xy² devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal. 
    - 15 xy2 

Monômio ou termo algébrico

Definição de Monômio

Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por um número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas, assim 2, x, 2x e -3xy² são exemplos de termos algébricos ou monômios.

Identificando as Partes de um Monômio

No monômio -3xy² o número -3 representa o seu coeficiente numérico e a sua parte literal é representada porxy².

Por convenção omitimos o coeficiente numérico quando ele é igual a 1, escrevemos x em vez de escrevermos 1x, por exemplo, ou então -x no lugar de -1x.

Temos um monômio nulo quando o coeficiente numérico é igual a 0, assim o termo algébrico 0x² é igual a 0.

Acima utilizamos o número 2 como um exemplo de monômio. De fato todo número real é um monômio, só que sem a parte literal.

Grau de um Monômio

O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as variáveis. O coeficiente numérico deve ser diferente de zero, caso contrário o monômio será nulo.

7xy² é um monômio de grau 3, já que o expoente de x subentende-se que seja igual a 1 e o de y é igual a 2.

O monômio -5x⁴ é de grau 4, pois só possui a variável x com expoente igual a 4.

18² é de grau 0, pois é um monômio sem a parte literal.

Expressões algébricas ou literais

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Uma expressão matemática é denominada  algébrica ou  literal quando possui
“números e letras” ou explicitamente, apenas  “letras”. As letras são chamadas
variáveis.
Exemplos:
a) x + y b) 3xy  c) x + 4 d) 4a + 5b
1) Termo Algébrico
É todo produto indicado de números reais, representados ou não por variáveis,
pertencente a uma expressão algébrica.

Exemplos:
2xy2 + 5x3y – 10xy + 5


2xy2
   → é um termo algébrico
5x3y    → é um termo algébrico
10xy    → é um termo algébrico
5     → é um termo algébrico ou termo constante